Limite di funzioni a più variabili

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In analisi matematica, il limite di funzioni a più variabili è un caso particolare del concetto generale di limite di una funzione, applicato a funzioni del tipo

$f:X\to\R^m$

dove $X$ è un sottoinsieme dello spazio euclideo $n$ -dimensionale $\R^n$ .

Il limite di una funzione a più variabili è spesso calcolato con criteri ad hoc e presenta aspetti specifici, non presenti per una funzione qualsiasi.

Definizione

La definizione di limite per una funzione a più variabili segue da quella più generale per funzioni fra spazi metrici. In particolare, una funzione

$f:X\to\R^m$

definita su un insieme $X$ di $\R^n$ ha limite $l$ in un punto di accumulazione $x 0$ per $X$ se

Per ogni numero reale $ε > 0$ esiste un numero reale $δ > 0$ tale che:

$\|f(x)-l\|<\epsilon$ per ogni

x

X

con $0 <\|x - x_0\|<\delta$ .

La definizione fa uso della norma per vettori in $\R^n$ e di una notazione vettoriale compatta per il punto $x$ . Se esiste il limite $l$ , questo è unico per il teorema di unicità del limite, e si indica ugualmente con

$l = \lim_{x \to x_0} f(x)$

In due variabili si possono ancora scrivere tutte le componenti senza creare una notazione troppo pesante e quindi si troverà scritto, per un limite in $\R^2$ ,

$l = \lim_{(x,y) \to (x_0, y_0)} f(x, y)$

Componenti

Può risultare utile scrivere le componenti $f_1, f_2, \dots f_m$ della funzione $f$ e notare che la nozione

$\lim_{x\to x_0} f(x) = l$

è equivalente a

$\lim_{\bold{x}\to\bold{x_0}}f_1(\bold{x})=l_1\!$

$\vdots \!$

$\lim_{\bold{x}\to\bold{x_0}}f_m(\bold{x})=l_m\!$

dove $l = (l_1,\ldots,l_n)$ .

Esempio

Il limite seguente non esiste:

$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \!$

Infatti si ottengono valori diversi avvicinandosi da direzioni diverse. Ponendo $y = 0$ e calcolando il limite destro, si ottiene:

$\lim_{x \to 0^+} \frac{x}{\sqrt{x^2+0^2}} = 1$

Mentre sulla retta $x = 0$ si ricava:

$\lim_{y \to 0} \frac{0}{\sqrt{0^2+y^2}} = 0.$

Nel caso in più variabili la "direzione" lungo la quale si calcola un limite è di fondamentale importanza: se una funzione ha limite nel punto, questo non deve dipendere dalla "direzione scelta".

Calcolo

Qui di seguito si usano due particolari metodi di calcolo dei limiti. In pratica per calcolare il limite di una funzione di due variabili $z = f (x, y)$ in un punto $(x 0, y 0)$ , un primo metodo consiste nel fare un cambiamento di variabili in coordinate polari:

$\begin{cases} x = x_0 + \rho \cos \theta \\ y = y_0 + \rho \sin \theta \end{cases}$

e si compone la funzione: $f (x, y) = F (x 0 + ρ c o s θ, y 0 + ρsinθ)$

Poi vale il teorema:

$\lim_{(x,y) \to (x_0,y_0)} f(x,y) = \lim_{\rho \to 0} F(x_0 + \rho \cos \theta,y_0 + \rho \sin \theta) = L$

in modo però uniforme rispetto a $θ$ , cioè (vedi la definizione di limite) l'ampiezza dell'intervallo di $ρ$ tale che le immagini siano tutte contenute in un qualsiasi intorno dello 0 deve essere indipendente da $θ$ .

Un altro metodo invece è quello di calcolare il limite secondo le diverse curve passanti per $(x 0, y 0)$ , cioè, all'avvicinarsi a $(x 0, y 0)$ , secondo diverse direzioni:

$\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases} \!$

componendo la funzione $f (x, y) = F [x (t), y (t)]$

$\lim_{t \to t_0} F[x(t),y(t)] = L$

dove $(x 0, y 0) = t 0$ . In generale con quest'ultimo metodo è estremamente difficile calcolare il limite, poiché si dovrebbe calcolarlo per tutte le infinite direzioni che avvicinano $(x 0, y 0)$ ; perciò il metodo è utile per negare l'esistenza di un ipotetico limite (come fatto nell'esempio precedente), usando il teorema delle restrizioni.

Voci correlate

Limite di una funzione

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Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Limite_di_funzioni_a_pi%C3%B9_variabili"

Categorie: Limiti | Funzioni reali di variabile reale

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