Differenza (insiemistica)

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Nella teoria degli insiemi e in altri campi della matematica, esistono due tipi di insieme complemento, il complemento relativo (detto anche insieme differenza) e il complemento assoluto.

Indice

1 Complemento relativo
- 1.1 Esempi
- 1.2 Proposizioni
2 Complemento assoluto
3 Voci correlate

Complemento relativo

Il complemento relativo (o la differenza) di A rispetto a B.

Differenza tra un cubo e una sfera parzialmente sovrapposti

Avendo due insiemi A e B, il complemento di A rispetto a B o l'insieme differenza B meno A, è formato dai soli elementi di B che non appartengono ad A. Esso si indica solitamente come $B\setminus A$ oppure come $\,\!B - A$ . Formalmente abbiamo:

$B\setminus A = B - A = \{ x \in B \wedge x \notin A \}$

Si noti che l'insieme differenza B - A è un sottoinsieme dell'insieme B.

Esempi

${1,2,3,4,5} - {3} = {1,2,4,5}$
${a, b, c, d} - {c, d, e, f} = {a, b}$
${1,2,3} - {2,3,4} = {1}$
${2,3,4} - {1,2,3} = {4}$

Proposizioni

Se A, B e C sono insiemi, allora valgono le seguenti identità:

$C - \left ( A \cap B \right ) = \left ( C - A \right ) \cup \left ( C - B \right )$
$C - \left ( A \cup B \right ) = \left ( C - A \right ) \cap \left ( C - B \right )$
$C - (B - A) = ( A \cap C ) \cup ( C - B )$
$( B - A ) \cap C = ( B \cap C ) - A = B \cap ( C - A )$
$( B - A ) \cup C = ( B \cup C ) - ( A - C )$
$A - A = \varnothing$
$\varnothing - A = \varnothing$
$A - \varnothing = A$

Complemento assoluto

Il complemento assoluto di A.

Il complemento assoluto è un caso particolare del complemento relativo.

Se è definito un insieme universo U, si definisce complemento assoluto di A come il complemento relativo di A rispetto ad U. Formalmente abbiamo:

$\bar A = \neg A = U - A = \{ x \in U \ e\ x \notin A \}$

Il complemento assoluto, indicato anche come A^C o ~ A, rappresenta anche il NOT nell'algebra Booleana.

A titolo di esempio, se l’insieme universale è l’insieme dei numeri naturali, allora il complemento dell’insieme dei numeri dispari è l’insieme dei numeri pari.

La prossima proposizione riporta alcune proprietà fondamentali del complemento assoluto in rapporto alle operazioni insiemistiche di unione e intersezione.

PROPOSIZIONE 2: Se A e B sono sottoinsiemi di un insieme universo U, allora valgono le seguenti identità:

leggi di De Morgan:

(A ∪ B)^C = A^C ∩ B^C
(A ∩ B)^C = A^C ∪ B^C

Leggi di complementarità:

A ∪ A^C = U
A ∩ A^C = Ø
Ø^C = U
U^C = Ø
Se A⊆B, allora B^C⊆A^C (ciò segue dall’equivalenza di una proposizione condizionale con la proposizione contronominale)

Involuzione o legge del doppio complemento:

(A^C)^C = A.

Relazioni tra complemento relativo e complemento assoluto:

A − B = A ∩ B^C
(A − B)^C = A^C ∪ B

Le prime due leggi di complementarità mostrano che se A è un sottoinsieme non vuoto di U, allora {A, A^C} è una partizione di U.

Voci correlate

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Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Insieme_complemento"

Categoria: Teoria degli insiemi

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