Derivata

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La retta L tangente in P alla funzione f ha pendenza data dalla derivata di f in P

In matematica la derivata di una funzione è, insieme all'integrale, uno dei cardini dell'analisi matematica e del calcolo infinitesimale.

Per vedere come si ricava una derivata da una funzione vedi la voce regole di derivazione.

Descrizione

Un modo semplice per capire cosa sia la derivata è guardare al suo significato geometrico: geometricamente la derivata di una funzione $f$ in un punto $x 0$ è la misura della pendenza (il coefficiente angolare, cioè la tangente trigonometrica dell'angolo fra la retta tangente e l'asse orizzontale) della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico della funzione nel punto $(x 0, f (x 0))$ .

Nel caso delle funzioni elementari di una sola variabile, che sono continue e derivabili in tutto il loro dominio salvo punti isolati, la funzione derivata, che esprime il coefficiente angolare della tangente in funzione della variabile indipendente, si ricava con operazioni algebriche note come regole di derivazione.

Nel caso di funzioni di più variabili, che sono rappresentate geometricamente non da curve ma da superfici, la tangente in un punto al grafico della funzione non è unica, ma varia a seconda della direzione scelta. Non è più possibile, quindi, definire una singola funzione delle stesse variabili indipendenti che renda conto della pendenza del grafico della funzione in un punto. Si ricorre allora alle derivate parziali della funzione, cioè ai coefficienti angolari di tangenti considerate lungo direzioni parallele agli assi che rappresentano le variabili indipendenti; le derivate parziali sono evidentemente tante quante sono le variabili stesse, ed una loro notevole proprietà è che, se la funzione è sufficientemente "regolare" (cioè differenziabile) è possibile calcolare la pendenza lungo una direzione qualunque combinando linearmente nel modo opportuno le derivate parziali stesse.

L'"operatore derivata" è un operatore lineare, ovvero la derivata di una combinazione lineare di funzioni derivabili è la combinazione lineare delle derivate delle singole funzioni, e la derivata del prodotto di uno scalare per una funzione è il prodotto dello scalare per la derivata della funzione.

Definizione e notazioni

In analisi matematica la derivata di una funzione reale di variabile reale f(x) nel punto x₀ è definita come il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento h, sotto l'ipotesi che tale limite esista e sia finito.

Più precisamente, una data funzione f(x) definita in un intorno di x₀ si dice derivabile nel punto x₀ se esiste ed è finito il limite:

${\mathop {\lim_{h \to 0}} {{f\left( {x_0 + h} \right) - f\left( x_0 \right)} \over h}}$

ed il valore di questo limite prende il nome di derivata della funzione nel punto x₀. Se la funzione f(x) è derivabile in ogni punto di un dato intervallo (a, b), allora si dice che essa è derivabile in (a, b), e la funzione f' (x) che associa ad ogni punto x la derivata di f in x è la funzione derivata di f.

La derivata nel punto x₀ viene indicata con uno dei seguenti simboli:

Secondo la notazione di Lagrange

$f ^{\prime} (x_0).$

Secondo la notazione di Cauchy

$\operatorname D \left[{f}({x_0})\right].$

Secondo la notazione di Leibniz:

$\frac {d f(x_0)}{d x}.$

La prima che compare storicamente:

$\left(\frac {d f}{d x} \right)_{(x_0)}.$

ancora oggi usata in fisica.

Secondo la notazione di Newton:

$\dot f(x_0).$

Derivata destra e derivata sinistra

Si chiama derivata destra di f in x₀ il:

$f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}$

Si chiama derivata sinistra di f in x₀ il:

$f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-}{{f(x_0+h)-f(x_0)}\over{h}}$

Una funzione è derivabile in x₀ se e solo se esistono le derivate sinistra e destra e coincidono.

Le derivate destra e sinistra permettono di definire la derivabilità su un intervallo non aperto: se f è definita ad esempio nell'intervallo chiuso [a, b], si dice che f è derivabile in [a, b] se è derivabile in ogni punto interno x in (a, b) e se esistono le derivate destra e sinistra rispettivamente negli estremi x=a e x=b.

Significato geometrico della derivata

La retta in rosso è la tangente alla funzione f(x) nel punto x₀

Il valore della derivata di $f (x)$ calcolata in $x 0$ ha, come si diceva sopra, un significato geometrico: è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico di $f (x)$ , nel punto di coordinate $(x 0, f (x 0))$ .

In altre parole, la derivata è il valore della tangente trigonometrica dell'angolo che la retta tangente a una curva in un suo punto forma con l'asse delle ascisse.

L'equazione della retta tangente in $x 0$ risulta:

$y = f(x_0) + f '(x_0)(x-x_0).\;$

Più precisamente, se $f (x)$ è derivabile nel punto $x 0$ , allora esiste una funzione $o ( | x - x 0 | )$ definita in un intorno di $x 0$ tale che:

$f(x) = f(x_0) + f '(x_0) (x - x_0) + o(|x-x_0|)\;$

con

$\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = 0 .$

Infatti tale formula non è altro che l'espansione di Taylor di $f (x)$ troncata al termine di primo grado. Si dice che $o ( | x - x 0 | )$ è un o piccolo, o un infinitesimo di ordine superiore alla funzione $| x - x 0 |$ . Con questo si vuole esprimere l'idea che il termine $o ( | x - x 0 | )$ dà un contributo che diventa trascurabile rispetto agli altri termini quando ci si avvicina a $x 0$ .

Dimostrazione

Definiamo $o (x - x 0)$ con lo stesso dominio di f, come:

o (x - x 0) = f (x) - f (x 0) - f'(x 0)(x - x 0)

e verifichiamo che:

$\lim_{x \to x_0}{{o(x-x_0)}\over{x-x_0}} = \lim_{x \to x_0}\left(\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} - f '(x_0)\right) (1)$

ricordiamo che per : $x \to x_0$ allora : $x-x_0 \to 0$ quindi : $h = x - x 0$

Sostituendo questa ultima uguaglianza con la (1) si ha:

$\lim_{h \to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} - f '(x_0) = 0$

confermando la tesi.

Teorema di continuità

Il teorema asserisce che se $f (x)$ è derivabile in x₀ allora $f (x)$ è anche continua in x₀.

Notiamo che l'opposto non è sempre vero: ad esempio, la funzione $f (x) = | x |$ è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto x = 0, perché la derivata destra non coincide con la derivata sinistra.

Dimostrazione

La dimostrazione si effettua riprendendo l'uguaglianza precedente:

f (x) = f (x 0) + f'(x 0)(x - x 0) + o (x - x 0)

da cui:

$\lim_{x \to x_0}f(x)= \lim_{x \to x_0}{f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x-x_0)} = f(x_0).$

Quindi la funzione è continua in x₀.

Funzioni non derivabili

La funzione valore assoluto non è derivabile nell'origine, dove ha un punto angoloso

Una funzione continua può essere non derivabile; in particolare la derivata può non esistere solo in punti isolati del dominio. In questo caso essi sono classificati come segue:

punto angoloso
cuspide
flesso a tangente verticale

Esistono anche funzioni continue che presentano forme più complesse di non derivabilità, come ad esempio la funzione di Cantor.

Derivata n-esima

La derivata n-esima f⁽ⁿ⁾ di una funzione f è la funzione che si ottiene derivando successivamente n volte la funzione f. Si parla quindi di derivata seconda, terza, etc... e si usa generalmente una delle seguenti notazioni:

$f'' = f^{(2)} = \frac{\mathrm{d}^2f}{\mathrm{d}x^2}$ ,

$f''' = f^{(3)} = \frac{\mathrm{d}^3f}{\mathrm{d}x^3}$ ,

...

$f^{(n)} = \frac{\mathrm{d}^nf}{\mathrm{d}x^n}$ .

Una funzione derivabile non è però necessariamente derivabile n volte: ad esempio, la seguente funzione ha una derivata prima, ma non una seconda:

f (x) = x | x |

Infatti la derivata di f è f' (x) = 2 |x|, che non è a sua volta derivabile.

La classe delle funzioni derivabili n volte e la cui derivata n-esima è continua si indica con $C n$ .

Teoremi

Vengono enunciati di seguito alcuni teoremi e risultati importanti.

Teorema di Fermat

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Fermat sui punti stazionari.

sia f(x) una funzione derivabile, e quindi continua, in un punto x₀
sia x₀ un punto interno al dominio della funzione f
sia x₀ un punto di massimo o di minimo della funzione f

allora la derivata della funzione in $x 0$ è nulla, cioè $f'(x 0) = 0$ .

Questo teorema è molto usato nello studio di funzione dato che definisce la possibilità di avere un punto di massimo o di minimo dove la funzione derivata si annulla.

Osservazioni

è indispensabile che x₀ sia interno al dominio
la funzione deve essere derivabile nel punto x₀, altrimenti il teorema non ha senso.

Ogni punto in cui la f'(x) si annulla (cioè è uguale a zero) è chiamato punto stazionario. I massimi e minimi relativi sono chiamati punti stazionari di $f'(x)$ .

Dimostrazione

Per fissare le idee, supponiamo che x₀ sia un punto di massimo e quindi f(x₀) sia valore massimo della funzione in (a,b); la dimostrazione può essere ripetuta specularmente nel caso x₀ sia un punto di minimo per f.
Consideriamo il rapporto incrementale: $\frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0}$ .
Il numeratore $f(x) - f(x_0) \le 0\ \forall x \in (a,b)$ perché, per ipotesi, x₀ è un punto di massimo e quindi $f(x_0) \ge f(x)\ \forall x \in (a ,b)$ .
Diremo quindi che :

$\frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} \ge 0$ se x < x₀, poiché il numeratore è sempre negativo o nullo ed il denominatore è sempre negativo
$\frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} \le 0$ se x > x₀, poiché il numeratore è sempre negativo o nullo ed il denominatore è sempre positivo

Ne consegue che, per il teorema della permanenza del segno:

$f'(x_0^-) = \lim_{x \to x_0^-}\frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} \ge 0$
$f'(x_0^+) = \lim_{x \to x_0^+}\frac{f\left(x\right) - f\left(x_0\right)}{x - x_0} \le 0$

Poiché, per ipotesi, la funzione f è derivabile in x₀, il limite del rapporto incrementale in x₀ deve esistere ed essere finito e, poiché deve essere contemporaneamente ≤0 e ≥0, allora deve essere nullo, come volevasi dimostrare.

Teorema di Rolle

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Rolle.

Sia f(x) una funzione continua nell'intervallo chiuso [a,b] e derivabile nell'intervallo aperto (a,b). Se f(a) = f(b) allora esiste un punto x₀ appartenente all'intervallo aperto (a,b) di f'(x) dove la derivata prima si annulla.

Teorema di Lagrange

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Lagrange.

Sia f(x) una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b), allora esiste almeno un punto x₀ appartenente ad (a,b) per cui:

$f'(x_0) = {{f(b) - f(a)} \over {b-a}}$

Il teorema afferma che esiste almeno un punto del grafico della funzione (x₀,f(x₀)) in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a quello della corda della retta passante per i punti (a,f(a)) e (b,f(b)).

Questo teorema è una generalizzazione del precedente in quanto analizza il caso in cui f(a) è diverso da f(b), se invece f(a) è uguale a f(b) si ricade nel Teorema di Rolle.

Teorema di Cauchy

Per approfondire, vedi la voce Teorema di Cauchy (analisi matematica).

Siano f(x) e g(x) funzioni continue in [a,b] e derivabili in (a,b) con g'(x) diversa da 0 per ogni punto dell'intervallo, allora esiste almeno un punto x₀ appartenente ad (a,b) per cui:

${f'(x_0) \over g'(x_0)} = {{f(b) - f(a)} \over {g(b)-g(a)}}$

Considerando in particolare la funzione g(t) = t, si ottiene l'affermazione del teorema di Lagrange.

Teorema crescenza-decrescenza

Sia f(x) continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora :

$\forall x \in (a,b) \ f'(x) \geq 0$ se e solo se la funzione è crescente in (a,b)

Se $\forall x \in (a,b) \ f'(x) \leq 0$ se e solo se la funzione è decrescente in (a,b)

La funzione può non essere strettamente crescente (o decrescente). Il teorema è direttamente ricavabile dall'enunciato di Lagrange. D'altra parte, valgono anche i fatti seguenti.

Se $\forall x \in (a,b) \ f'(x) > 0$ allora la funzione è strettamente crescente in (a,b)

Se $\forall x \in (a,b) \ f'(x) < 0$ allora la funzione è strettamente decrescente in (a,b)

Una funzione strettamente crescente non ha necessariamente derivata ovunque positiva. Ad esempio,

f (x) = x 3

è strettamente crescente, ma ha derivata nulla nell'origine (dove c'è un punto di flesso).

Teorema funzione costante

Una funzione è costante in un intervallo [a,b] se e solo se è derivabile e la derivata è ovunque nulla nell'intervallo.

Derivata di funzioni vettoriali

Una funzione vettoriale si dice derivabile nel punto x se esiste finito il limite

$\mathbf{f}'(t)=\lim_{h\to 0}\frac{\mathbf{f}(t+h) - \mathbf{f}(t)}{h},$ .

Essendo l'argomento del limite un vettore, anche il risultato sarà un vettore. La derivata di f coincide infatti con il vettore delle derivate delle sue componenti,

$\mathbf{f}'(x)=\langle f'_1(x),f'_2(x),...,f'_n(x)\rangle$ .

Derivabilità per funzioni di più variabili

Per approfondire, vedi le voci funzione differenziabile, derivata parziale e gradiente.

La nozione di funzione differenziabile estende il concetto di funzione derivabile in più variabili. Una funzione è differenziabile se è approssimabile localmente (al primo ordine) con una trasformazione lineare.

Strumenti utili allo studio delle funzioni differenziabili sono le derivate parziali, che esprimono la derivata in una direzione fissata, ed il gradiente, che indica la direzione di "massima pendenza".

Convessità

Per approfondire, vedi la voce funzione convessa.

Sia $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ derivabile. Allora nello studio di funzione per effettuare lo studio della convessità di $f$ si sfrutta la condizione necessaria e sufficiente data dalla seguente proposizione:

f (x)

convessa $\Leftrightarrow$

f'(x)

crescente in [a,b]

Se f possiede derivata seconda, allora questo si traduce nello studio della disequazione

$f^{''}(x) \geq 0$

Dove si ha il passaggio da negativo a positivo della derivata seconda abbiamo un cambiamento di convessità della funzione e un relativo punto di flesso.

Derivata di una serie di potenze

Una funzione espressa come serie di potenze $\sum_{n=1}^\infty a_n X^n$ con raggio di convergenza r è continua e derivabile su tutto l'intervallo (-r, r). La derivata può essere calcolata derivando termine a termine la serie nel modo seguente:

$f'(x) = \sum_{n=1}^\infty n a_n x^{n-1}$

Questo tipo di derivata è importante per lo sviluppo di Taylor e Mc-Laurin.

Derivata formale

In teoria degli anelli si introduce la nozione di derivata formale come un operatore unario $\partial$ tale che:

$\partial(u + v) = \partial u + \partial v$ (l'operazione è lineare)
$\partial (u \cdot v) = u \cdot \partial v + \partial u \cdot v$ (vale la regola di Leibniz).

Una applicazione è per esempio la derivata formale di un polinomio, sfruttata tra le altre cose in geometria algebrica.

Voci correlate

Altri progetti

Wikibooks contiene testi o manuali su Derivata

Wikimedia Commons contiene file multimediali su Derivata

Collegamenti esterni

(IT) WIMS Function Calculator calcolo delle derivate online; questo sito permette anche di fare esercizi interattivi
(EN) Online Derivatives Calculator.
(IT) Limite, derivate, integrali Directory con varie risorse sulle derivate