Coordinate generalizzate

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In meccanica razionale un sistema di coordinate generalizzate (o lagrangiane) è un sistema di coordinate, di numero pari ai gradi di libertà del sistema, che determina univocamente lo stato del sistema.

Dato un sistema meccanico con $n$ gradi di libertà e un qualunque sistema di coordinate (per esempio cartesiane) nel quale lo stato del sistema è indicato dal vettore $\vec x=(x_1, x_2, ..., x_m)$ , con $m\ge n$ , è possibile esprimere ogni variabile $x i$ in funzione del vettore $\vec q=(q_1, q_2, ..., q_n)$ , dove ogni $q h$ è detta variabile generalizzata:

$\begin{cases} x_1 = \phi_1(q_1, \dots , q_n)\\ x_2 = \phi_2(q_1, \dots , q_n) \\ \dots \; \; \dots \\ x_m = \phi_m (q_1, \dots , q_n) \end{cases}$

dove $\vec q = (q_1, \dots , q_n) \in A \subset \mathbb{R}^n$ con $A$ aperto, e $\vec \phi : A \longrightarrow \mathbb{R}^m$ è una funzione regolare. La caratteristica fondamentale è che queste coordinate libere sono indipendenti, cioè possono variare indipendentemente le une dalle altre, e per questo motivo vengono chiamate coordinate generalizzate. Ciò non è vero per sistemi di coordinate formate da un numero maggiore di variabili, a causa della presenza di vincoli che legano tra di loro alcune tra le $x i$ . Le coordinate generalizzate possono anche rappresentare grandezze diverse da posizioni o angoli, per esempio l'energia del sistema.

Indice

1 Esempi
2 Velocità generalizzate ed energia cinetica
3 Applicazioni delle coordinate generalizzate
- 3.1 Lavoro virtuale, forze generalizzate
- 3.2 Principio dei lavori virtuali
4 Voci correlate
5 Collegamenti esterni
6 Bibliografia

Esempi

Un sistema di n particelle nello spazio tridimensionale può avere fino a 3n gradi di libertà, e quindi coordinate generalizzate (una per ogni dimensione del moto di ciascuna particella). Un sistema di n corpi rigidi può avere fino a 6n coordinate generalizzate, includendo 3 assi di rotazione per ogni corpo. Il numero di gradi di libertà effettivi si riduce in seguito all'introduzione di vincoli tra le posizioni delle particelle (vincoli olonomi) e le velocità (vincoli anolonomi). Ad esempio un sistema formato da due particelle puntiformi nello spazio ha 6 gradi di libertà (3 per ogni coordinata cartesiana ci ciascuna particella), ma con l'introduzione di un vincolo, come la condizione che le particelle rimangano a distanza fissata l'una dall'altra, riduce a 5 i gradi di libertà (6 coordinate - 1 vincolo). Una scelta conveniente delle variabili lagrangiane consiste in questo caso nell'usarne tre per localizzare il centro di massa del sistema e le rimanenti due per determinare l'orientazione nello spazio della retta che congiunge le due particelle: in questo modo abbiamo 5 coordinate indipendenti tra loro.

Un corpo costretto a spostarsi lungo un vincolo unidimensionale (es. una curva regolare $\phi(t), \phi:\mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}^3$ ) ha solo un grado di libertà, e la coordinata generalizzata usata il più delle volte per descriverne il moto è l'ascissa curvilinea $q=t\,\!$ , cioè la variabile che parametrizza la curva. Da notare che un moto nelle tre dimensioni è stato ridotto ad una dimensione.

Analogamente un corpo vincolato ad una superficie ha due gradi di libertà, anche se il suo moto è ancora agganciato alle tre dimensioni. Se la superficie è una sfera, una buona scelta di coordinate è $\lbrace q_1,q_2\rbrace = \lbrace \theta,\phi \rbrace \,\!$ , dove $\theta\,\!$ e $\phi\,\!$ sono le coordinate di angolo provenienti dalle coordinate sferiche. La coordinata $r$ è stata soppressa in quanto una particella che si muove su una sfera mantiene una distanza costante dal centro della sfera.

Un doppio pendolo costretto a muoversi su un piano può essere descritto, in un sistema di assi cartesiani $(x, y)$ , con l'asse y verticale discendente, da quattro coordinate cartesiane $\lbrace x_1,y_1,x_2,y_2\rbrace\,\!$ , ma il sistema ha solo due gradi di libertà, ed un sistema più efficiente potrebbe essere quello di considerare come variabili lagrangiane l'angolo che ciascun pendolo forma con la verticale. Ponendo $\lbrace q_1,q_2\rbrace = \lbrace\theta_1,\theta_2 \rbrace\,\!$ otteniamo le seguenti relazioni:

$\lbrace x_1, y_1 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1, l_1\cos\theta_1 \rbrace\,\!$

$\lbrace x_2, y_2 \rbrace = \lbrace l_1\sin\theta_1 + l_2\sin\theta_2 , l_1\cos\theta_1 + l_2\cos\theta_2 \rbrace\,\!$

dove $l 1$ è la lunghezza del pendolo vincolato all'origine e $l 2$ è la lunghezza del pendolo vincolato all'estremità libera dell'altro.

Velocità generalizzate ed energia cinetica

Ogni coordinata generalizzata $q i$ è associata ad una velocità generalizzata $\dot q_i$ , definita come $\dot q_i={dq_i \over dt}$ .

Per un sistema di $n$ particelle con $3 n$ gradi di libertà, nel quale ogni particella è identificata dalle coordinate $(x_i, y_i, z_i)=(x_i, x_{i+1}, x_{i+2})\,\!$ possiamo passare ad un sistema di riferimento formato da 3n coordinate generalizzate.

Se si conoscono le equazioni di trasformazione tra coordinate cartesiane e generalizzate

$x_i = x_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )$

$x_{i+1} = y_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )$

$x_{i+2} = z_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )$

allora queste equazioni possono essere differenziate:

$\dot x_i = \frac {d}{dt} x_i \left (q_1, q_2, ..., q_n, t \right )=\sum_{h=1}^{3n}\frac{\partial x_i}{\partial q_h}\dot q_h+\frac{\partial x_i}{\partial t}$

L'energia cinetica dell' i-esima particella è data da:

$T_i =\frac {1}{2} m_i\sum_{j=1}^{3}\dot x_j^2$

quindi l'energia cinetica totale è data da:

$T=\frac {1}{2} \sum_{i=1}^{n}m_i\sum_{j=1}^{3}\dot x_j^2$

Esprimendo le $x j$ in funzione delle coordiante generalizzate:

$T=\frac {1}{2} \sum_{i=1}^{n}m_i\sum_{j=1}^{3}\left(\sum_{h=1}^{3n}\frac{\partial x_j}{\partial q_h}\dot q_h+\frac{\partial x_j}{\partial t}\right)\cdot \left(\sum_{k=1}^{3n}\frac{\partial x_j}{\partial q_k}\dot q_k+\frac{\partial x_j}{\partial t}\right)$ .

Svolgendo e raccogliendo nelle $\dot q$ :

$T=\frac {1}{2}\left (\sum_{h=1}^{3n}\sum_{k=1}^{3n}a_{hk} \dot q_h \dot q_k +2\sum_{k=1}^{3n}a_{0k}\dot q_k+a_{00}\right )$

dove i termini $a_{0k}\,\!$ e $a_{00}\,\!$ dipendono dal tempo. Possiamo quindi esprimere l'energia cinetica di ogni particella come forma quadratica nelle $\dot q_h$ , e nel caso di vincoli indipendenti dal tempo l'energia cinetica si riduce a:

$T=\frac {1}{2}\sum_{h=1}^{3n}\sum_{k=1}^{3n}a_{hk} \dot q_h \dot q_k$

È importante ricordare che l'energia cinetica deve essere misurata relativamente a coordinate inerziali. Se si usa il metodo sopra citato, significa solo che le coordinate cartesiane devono essere inerziali, anche se le coordinate generalizzate non ne hanno bisogno. Questo è un altro considerevole vantaggio delle coordinate generalizzate.

Applicazioni delle coordinate generalizzate

Lavoro virtuale, forze generalizzate

Le coordinate generalizzate sono utili principalmente in Meccanica lagrangiana, dove il loro uso permette di eliminare le forze vincolari (nel caso di vincoli perfetti).

Dato uno spostamento virtuale $\vec {\delta OP_i}$ , ottenuto considerando solo gli spostamenti ammissibili con i vincoli "congelati", cioè considerati come fissi, indipendenti dal tempo, si definisce lavoro virtuale il prodotto scalare tra le forze $\vec f_i$ agenti sull' i-esima particella del sistema e lo spostamento virtuale $\vec {\delta OP_i}$ :

$\delta W_i=\vec f_i\cdot \vec{\delta OP_i}$

Se i vincoli del sistema sono perfetti, allora i lavori virtuali associati alle forze vincolari sono nulli, dato che le forze sono ortogonali agli spostamenti virtuali.

Distinguendo quindi tra forze attive $\vec f_i^{att}(q_1, q_2, ..., q_n)$ e reazioni vincolari $\vec r_i(q_1, q_2, ..., q_n)\,\!$ , il lavoro virtuale sarà quindi dato da:

$\delta W_{i}=(\vec f_i^{att}+\vec r_i)\cdot \vec {\delta OP_i}=f_i^{att}\cdot \vec {\delta OP_i}$

Esprimendo $\vec {\delta OP_i}$ in funzione delle coordinate generalizzate $q_h\,\!$ , e ricordando che $\frac{\partial \vec OP_i}{\partial t}=0$ per definizione di spostamento virtuale:

$\delta W_{i}=\sum_{h=1}^n \vec f_i^{att}\cdot \frac{\partial \vec OP_i}{\partial q_h}\delta q_h=\sum_{h=1}^n Q_{ih} \cdot \delta q_h$

dove le n quantità $Q_{ih}=\sum_{h=1}^n \vec f_i^{att}\cdot \frac{\partial \vec OP_i}{\partial q_h}$ sono dette componenti lagrangiane della forza attiva $\vec f_i^{att}$ , o anche forze generalizzate.

Mentre in fisica si è più interessati alla conoscenza del moto del sistema, un problema di grande interesse in ingegneria è risalire alle forze generalizzate, derivandole velocemente determinando lo sforzo che dovrebbe essere fatto da tutte le forze non vincolari se il sistema subisse uno spostamento virtuale $\delta q_h\,\!$ , con il tempo e le altre coordinate generalizzate fissate. La forza generalizzata potrebbe quindi essere calcolata come:

$Q_h(q_1, q_2, ... , q_h) = \frac {\delta W_i}{\delta q_h}$

Principio dei lavori virtuali

Il principio dei lavori virtuali afferma che condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema sia in equilibrio è che il lavoro virtuale sia nullo, il che equivale a dire che le forze generalizzate siano nulle. La necessità si dimostra a partire dal secondo principio di Newton:

$m_i\vec \ddot x_i-\vec F_i=0$

$(m_i\vec \ddot x_i-\vec F_i)\delta \vec {OP_i}=0$

$(m_i\vec \ddot x_i-\vec f_i^{att})\delta \vec {OP_i}=0$

$\sum_{h=1}^n (m_i\vec \ddot x_i\frac {\partial \vec {OP_i}}{\partial q_h}-Q_{ih})\delta q_h=0$

$m_i\vec \ddot x_i\frac {\partial \vec {OP_i}}{\partial q_h}-Q_{ih}=0\qquad \qquad$

utilizzando l'indipendenza dei $δ q h$ . Se le $\vec \ddot x_i$ sono nulle, allora lo sono anche le forze generalizzate. La sufficienza si dimostra a partire dalle equazioni di Eulero-Lagrange: se il potenziale è nullo, allora le equazioni ammettono la soluzione statica; ma dato che è unica, essa permane.