Codice MDS

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Un codice MDS (Maximum Distance Separable) è un codice per cui la diseguaglianza di Singleton vale come uguaglianza, ovvero:

$\ |C| = \frac{2^n}{\sum_{k=0}^e {n \choose k} }$

Dove:

$\ C$ è un Codice binario, sottoinsieme di uno spazio di Hamming a dimensione n:

$\ C \subseteq H[n,2]$

Il cui generico elemento è $\ x = ( x_1, x_2, ... ,x_n)$ con $\ x_i \in \left\{0,1\right\}$

$\ e$ è il massimo numero di errori che il codice è in grado di correggere, ovvero detta $\ d(C)$ la distanza minima del codice:

$\ d(C) \geq 2e + 1$

Una volta definite la distanza tra due parole x e y di $\ H[n,2]$ :

$\ \rho(x,y):= | \left\{ i : x_i \ne y_i \right\} |$

e l'insieme sfera di centro c e raggio r comprendente le parole di $\ H[n,2]$ aventi distanza da $\ c$ minore o uguale a r:

$\ S(c,r):= \left \{ x \in H[n,2] : \rho(x,c) \le r \right \}$

La prima relazione implica che l'intero spazio $\ H[n,2]$ è partizionabile in sfere di raggio $\ e$ centrate su elementi del codice $\ C$ , ovvero non esistono elementi di $\ H[n,2]$ che non cadano in una (e una sola) sfera di raggio $\ e$ centrata su un qualche elemento $\ c \in C$ .

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Estratto da "http://it.wikipedia.org/wiki/Codice_MDS"

Categoria: Teoria dei codici

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